Belajar Eksponen yuk, .. ???

Jam menunjukkan pukul 19.18 WIB. Waktunya makan ….. ??? Hemm,,, pas lagi mau menikmati suapan pertama, terdengar suara merdu berkumandang. Assalamualaikum …???? Dengan lantang kujawab, Waalaikumsalam ….!!!! Ternyata ada teman lamaku. Dia bermaksud meminta bantuan kepadaku untuk membantunya menyelesaikan soal – soal matematika.

Kebetulan soal yang dia kasih adalah soal ujian masuk sekolah tinggi perhubungan tahun 2008. Pas baca soal nomor 1, langsung ketemu ama yang namanya eksponen. Hemm…. Biar enak ngerjakannya, yuk kita sharing konsep dasar Eksponen.

a.      Sifat – sifat Eksponen

Jika a dan b bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku hubungan :

1.      a^x x a^y = a^x+y

2.      ( a x b )^x = a^x x b^x

3.      a^x : a^y = a^x-y

4.      ( a : b )^x = a^x : b^x

5.      ( a^x )^y = a^{x × y}

6.      (i) a^-x = 1/ a^x

(ii) a^x = 1/ a^-x

b.      Fungsi Eksponen

Definisi :

Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis “a” adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

f : x a^x atau y = f(x) = a^x, a > 0 dan a ≠ 1

disebut fungsi eksponen dengan daerah asal bilangan real.

c.       Persamaan Eksponen

Definisi :

Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

1.      Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat

1.      a^m x aⁿ = a^m+n

2.      (a^m)ⁿ = (a)^mn

3.      a^m/aⁿ = a^m-n

4.      (a x b )ⁿ = aⁿ x bⁿ

5.      (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

2.   Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional

Jika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka :

a. a^m/n . a^p/q = a^{m/n + p/q}

b. (a^m/n)^p/q = a^mp/nq

c. a^m/n : a^p/q = a^{m/n – p/q}

d. (ab)^m/n = a^m/n . b^m/n

e. (a/b)^m/n = a^m/n/b^m/n

3.   Persamaan Eksponen

Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2^x. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 !

Kita dapat menyelesaikannya dengan membentuk sebuah persamaan f(x) = 2^x:

8 = 2^x atau 2^x = 8 atau 2^x = 2³

Persamaan yang memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen. Persamaan eksponen dapat berbentuk :

a. a^f(x) = 1

b. a^f(x) = a^p

c. a^f(x) = a^g(x)

d. a^f(x) = b^f(x)

e. a^f(x) = b^g(x)

f. [f(x)]^f(x) = [f(x)]^g(x)

a dan b dinamakan bilangan pokok, a,b > 0 dan a,b ≠ 1. f(x) dan g(x) adalah sebuah fungsi aljabar.

Persamaan eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen. Sebelum mempelajari sifat-sifat tersebut sebaiknya kita tinjau kembali bilangan pangkat nol (a⁰).

Pengertian pangkat nol

Untuk setiap a є bilangan real, maka :

a⁰ = 1

Keterangan : untuk 0⁰ tidak didefinisikan.

4.   Sifat – sifat Fungsi Eksponen untuk Menyelesaikan Persamaan Eksponen

1.      Sifat fungsi atau eksponen berbentuk a^f(x) = 1

Jika a^f(x) = dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = 0

2.      Sifat fungsi atau eksponen berbentuk a^f(x) = a^p

Jika a^f(x) = a^p dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = p

3.      Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk a^f(x) = a^g(x)

Jika a^f(x) = a^g(x) dengan a > 0 dan a ≠1 , makaa f(x) = g(x)

4.   Sifat fungsi atau persamaan berbentuk a^f(x) = b^f(x) (a≠b)

Jika a^f(x) = b^f(x) dengan a,b > 0 a,b ≠ 1 serta a ≠ b, maka f(x) = 0

5.   Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk a^f(x) = b^g(x)

Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk a^f(x) = b^g(x) dengan a,b>0 dan a,b≠1 dapat diselesaikan dengan logaritma, yaiu log :

a^f(x) = log b^g(x) atau f(x) log a = g(x) log b

6.   Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [U(x)]^f(x) = [U(x)]^g(x)

Jika [U(x)]^f(x) = [U(x)^g(x)] maka nlai x diperoleh dari :

1.      f(x) = g(x)

2.      U(x) = 1

3.      U(x) = 0, jika nilai x memenuhi syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) > 0

4.      U(x) = -1, jika nilai x memenuhi syarat f(x) dan g(x) kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap.

7.   Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk A{a^f(x)}² + B{a^f(x)} + C = 0

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{a^f(x)}² + B{a^f(x)} + C = 0 (a>0 dan a≠1, A,B, dan C bilangan real dan A≠0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat.

d.      Pertidaksamaan Eksponen

Definisi :

Pertidaksamaan Eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat Fungsi Monoton Naik (a>1)

·         Jika a^f(x)≥a^g(x), maka f(x)≥g(x)

·         Jika a^f(x)≤a^g(x), maka f(x)≤g(x)

Sifat Fungsi Monoton Turun (a<1)

·         Jika a^f(x)≥a^g(x), maka f(x)≤g(x)

·         Jika a^f(x)≤a^g(x), maka f(x)≥g(x)

Bentuk Pertidaksamaan Eksponen

Dari fungsi dan persamaan eksponen, kita sekarang akan mempelajari pertidaksamaan eksponen. Adapun bentuk pertidaksamaan eksponen yang kita pelajari adalah pertidaksamaan eksponen dengan bilangan pokok yang sama.

a^{f(x )}… a^g(x)

Keterangan :

·         a adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1

·         tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : <, >, ≤, ≥.

e.      Gambar Grafik

f.        Soal dan Pembahasan

Sederhanakanlah :

1.   25^1/3√6 x 25^1/6√6

Pembahasan :

25^1/3√6 x 25^1/6√6            = 25^{1/3√6 + 1/6√6}

= 25^{½ √6}

= (25^½)^√6

= 5^√6

2.   (30³ : 10³) x 3²

Pembahasan :

(30³ : 10³) x 3² = 3³ x 3²

= 3⁵

3.   (p⁶ x p^-2)^-0,5

Pembahasan :

(p⁶ x p^-2)^-0,5       = (p^{6 – 2})^-1/2

= p^-2

Tentukan himpunan penyelesaian setiap persamaan eksponen berikut.

4.   3 ^{x - 4} = 1

Pembahasan :

3^{x - 4}      = 1

↔ 3^{x - 4}      = 3⁰

↔ x – 4    = 0

↔ x = 4

Hp = {4}

5.   2^{3x – 1} = √^{8 x + 1}

Pembahasan :

2^{3x – 1}    = √8^{x + 1}

↔ 2^{3x – 1}    = 2^{3x + 3}

↔ 3x – 1 = 3x + 3

↔ .6x – 2             = 3x + 3

↔                 3x    =     5

↔       x    =    5/3

Hp = {5/3}

6. 2^{3x – 6} = 3^{3x – 6}

Pembahasan :

2^{3x – 6}    = 3^{3x – 6}

↔ 3x – 6 =    0

↔       x    =    2

Hp = {2}

7.   2 ^{x -2x -15} =1

Pembahasan :

2x² -2x -15       = 1

x² -2x – 15        = 0

(x -5)(x +3)      = 0

  x₁ = 5 atau x₂ = -3

Hp = {5,-3}

8.   3^{x – 6x + 8} = 5^{x -6x +8}

Pembahasan :

3^{x -6x + 8}                            = 5 ^{x2 – 6x + 8}

↔ x² – 6x + 8       = 0

↔ (x - 2)(x - 4)     = 0

↔          x = 2 atau x = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4}

9.   2^2x -12 . 2^x + 32 = 0

Pembahasan :

2^2x – 12 . 2^x + 32          = 0

(2^x)² – 12 . (2^x) + 32     = 0

Misalkan 2^x = y, maka persamaan (2^x)² – 12 . (2^x) + 32 = 0 dapat dituliskan menjadi

y² – 12y + 32 = 0

↔ (y – 4)(y – 8) = 0

↔ y = 4 atau y = 8

·         untuk y = 4, didapat

2^x = 4

↔ 2^x = 2²

↔ x = 2

·         untuk y = 8, didapat

2^x = 8

↔ 2^x = 2³

↔ x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,3}

            Itulah tadi yang dapat saya sampaikan. Bagaimana pendapat anda ??? Mohon maaf apabila terjadi kesalahan dalam pemaparan materi ini. Terima kasih saya sampaikan kepada teman saya yang minta bantuan tadi. Kalau ga ada dia, saya tidak mungkin menulis artikel ini. Salam Matematika !!!!